Questão ENEM 2024 — Geometria Plana

Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto $S$. Essa área depende da medida do ângulo ($\alpha$), em grau, e do raio ($R$), em metro.

Vista superior da área de cobertura do sensor.

Ao aumentar o ângulo ($\alpha$) ou o raio ($R$), aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.

Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:

tipo I: $\alpha =15^{\circ }$ , R = 20 m;

tipo II: $\alpha =30^{\circ }$ R = 22 m;

tipo III: $\alpha =40^{\circ }$ R = 12 m;

tipo IV: $\alpha =60^{\circ }$ R = 16 m;

tipo V: $\alpha =90^{\circ }$ R = 10 m.

Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida $(70{\text{m}}^2)$, com o menor preço possível.

Use 3 como valor aproximado para $(\pi$).

O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo