Lista de Exercícios de Matemática — 3o Ano EM

Identificação

• Disciplina: Matemática | Série: 3º Ano EM | Tema: Análise combinatória
• Habilidades BNCC: EM13MAT310, EM13MAT311
• Quantidade: 12 exercícios | Tempo estimado: 60 minutos

Orientações

Esta lista de exercícios foi elaborada para ajudar você a compreender e aplicar os conceitos de análise combinatória, um tópico fundamental em Matemática. A lista está organizada em três níveis de dificuldade: básico, intermediário e avançado. Siga a sequência proposta, pois os exercícios iniciais são fundamentais para a resolução dos mais complexos. Utilize lápis e papel para esboçar suas ideias e cálculos, e não hesite em revisar os conceitos teóricos se necessário. Boa prática!

Nível 1 — Básico (4 exercícios)

Exercício 1

Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados utilizando os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5?

Exercício 2

De quantas maneiras diferentes podemos escolher 2 representantes entre 5 candidatos?

Exercício 3

Em um restaurante, há 4 entradas, 3 pratos principais e 2 sobremesas. Quantas combinações diferentes de uma refeição completa (entrada, prato principal e sobremesa) podem ser montadas?

Exercício 4

Quantos anagramas podem ser formados com a palavra "MATO"?

Nível 2 — Intermediário (4 exercícios)

Exercício 5

Uma empresa precisa formar uma comissão de 3 pessoas a partir de um grupo de 8 funcionários. Quantas comissões diferentes podem ser formadas?

Exercício 6

Em uma corrida com 8 cavalos, quantas possibilidades existem para que os três primeiros lugares sejam ocupados por cavalos diferentes?

Exercício 7

De quantas maneiras podemos dispor 7 livros em uma prateleira, se dois deles devem ficar juntos?

Exercício 8

Em uma festa, cada pessoa deve apertar a mão de todas as outras uma única vez. Se há 10 pessoas na festa, quantos apertos de mão ocorrerão?

Nível 3 — Avançado (4 exercícios)

Exercício 9

Quantos números distintos de 4 dígitos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, se nenhum dígito pode se repetir?

Exercício 10

Uma senha é formada por 4 letras seguidas de 2 números. Se as letras são escolhidas entre A, B, C, D e os números entre 0, 1, 2, 3, 4, quantas senhas diferentes podem ser criadas, considerando que letras e números podem se repetir?

Exercício 11

De quantas maneiras podemos sentar 6 pessoas em um banco de 8 lugares, se apenas 3 lugares são diferenciados?

Exercício 12

Em um baralho padrão de 52 cartas, quantas mãos de 5 cartas podem ser montadas contendo exatamente 2 ases?

Gabarito comentado

Exercício 1

Resposta: 60 Resolução: Para formar números de três algarismos distintos com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, podemos escolher o primeiro algarismo de 5 maneiras, o segundo de 4 maneiras (já que um foi escolhido) e o terceiro de 3 maneiras. Logo, temos $5\times 4\times 3=60$ combinações.

Exercício 2

Resposta: 10 Resolução: Utilizamos o conceito de combinação, pois a ordem de escolha não importa: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10$.

Exercício 3

Resposta: 24 Resolução: Multiplicamos as opções: 4 entradas $\times$ 3 pratos principais $\times$ 2 sobremesas = 24 combinações.

Exercício 4

Resposta: 24 Resolução: A palavra "MATO" tem 4 letras distintas, logo, o número de anagramas é $4!=24$.

Exercício 5

Resposta: 56 Resolução: Utilizamos combinação, pois a ordem na comissão não importa: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=\frac{8!}{3!(8-3)!}=56$.

Exercício 6

Resposta: 336 Resolução: Para os três primeiros lugares, escolhemos 3 cavalos entre 8. A ordem importa: $8\times 7\times 6=336$.

Exercício 7

Resposta: 1440 Resolução: Tratamos os dois livros que devem ficar juntos como um único "superlivro". Temos então 6 "livros" para ordenar, ou seja, $6!$ maneiras. Os dois livros dentro do "superlivro" podem ser ordenados de $2!$ maneiras: $6!\times 2!=720\times 2=1440$.

Exercício 8

Resposta: 45 Resolução: Cada pessoa aperta a mão de todas as outras uma vez, então calculamos uma combinação de 10 pessoas tomadas 2 a 2: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=45$.

Exercício 9

Resposta: 3024 Resolução: Temos 9 opções para o primeiro dígito, 8 para o segundo, 7 para o terceiro e 6 para o quarto: $9\times 8\times 7\times 6=3024$.

Exercício 10

Resposta: 2500 Resolução: Para as letras: $4^4=256$ (cada letra pode ser A, B, C ou D). Para os números: $5^2=25$ (cada número pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4). Total: $256\times 25=6400$ senhas.

Exercício 11

Resposta: 720 Resolução: Escolhemos 3 lugares diferenciados para 3 pessoas, o que pode ser feito de $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)$ maneiras, e as 3 pessoas restantes podem ser colocadas nos 5 lugares restantes de $5!$ maneiras: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)\times 5!=56\times 120=720$.

Exercício 12

Resposta: 103776 Resolução: Escolhemos 2 ases de 4 disponíveis: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$. As 3 cartas restantes são escolhidas entre as 48 cartas não ases: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{48}{3}\right)=17296$. Total: $6\times 17296=103776$ mãos.

Adaptações para alunos com TEA/TDAH

• Tempo adicional: Permitir que os alunos realizem os exercícios em duas sessões de 30 minutos para melhor foco e concentração.
• Exercícios interativos: Utilizar aplicativos de simulação que permitam a manipulação visual dos itens a serem combinados, como blocos ou cartas virtuais.
• Instruções claras e objetivas: Fornecer exemplos adicionais e diagramas para ilustrar os conceitos.
• Ambiente tranquilo: Garantir que o local de estudo seja livre de distrações auditivas e visuais.