Atividade Investigativa de Matemática — 3o Ano EM

1. Quantas Formas de Organizar uma Festa? Descubra com a Análise Combinatória!

2. Objetivo investigativo

Como podemos determinar a quantidade de maneiras diferentes de organizar uma festa de aniversário, considerando diferentes opções de comidas, bebidas e decorações?

3. Habilidades BNCC

• EM13MAT310: Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore ou a tabela.
• EM13MAT311: Identificar e descrever o espaço amostral de eventos aleatórios, realizando contagem das possibilidades, para resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo da probabilidade.
• EM13MAT307: Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais.

4. Conhecimentos prévios

Antes de iniciar esta investigação, os alunos devem ter familiaridade com:

• Princípio multiplicativo e aditivo de contagem.
• Noções básicas de permutação e combinação.
• Representação e interpretação de problemas através de diagramas de árvore ou tabelas.

5. Situação-problema

Imagine que você está ajudando a organizar uma festa de aniversário. Para isso, você precisa decidir entre 3 tipos de bolo (chocolate, morango e baunilha), 2 tipos de bebidas (refrigerante e suco) e 4 tipos de decoração (balões coloridos, luzes, flores e bandeirinhas). Quantas combinações diferentes de festa podem ser criadas considerando uma escolha para cada categoria (bolo, bebida e decoração)?

6. Desenvolvimento em 5 etapas

6.1 Hipóteses (10 min)

Inicie a atividade pedindo aos alunos que discutam em grupos pequenos e formulem hipóteses sobre quantas combinações diferentes podem ser feitas com as opções dadas. Incentive-os a pensar nos diferentes fatores que influenciam o número total de combinações.

Pergunta norteadora: Quantas festas diferentes você acha que podem ser organizadas com estas opções?

6.2 Exploração (15 min)

Distribua a turma em grupos e forneça materiais como papel, lápis e quadros brancos. Peça que cada grupo elabore um diagrama de árvore ou tabela para explorar as combinações possíveis. Oriente-os a considerar cada categoria (bolo, bebida, decoração) como um ramo ou coluna distinta.

Perguntas norteadoras:

• Como podemos representar as escolhas disponíveis em um diagrama de árvore?
• Qual é a relação entre as escolhas de bolos, bebidas e decorações?

6.3 Análise (15 min)

Oriente os alunos a sistematizar suas observações em tabelas ou diagramas, identificando padrões ou regularidades nas combinações. Incentive-os a aplicar o princípio multiplicativo para calcular o número total de combinações (3 bolos $\times$ 2 bebidas $\times$ 4 decorações = 24 combinações).

Perguntas norteadoras:

• Que padrão você observa nas tabelas ou diagramas?
• Como o princípio multiplicativo se aplica a este problema?

6.4 Formalização (10 min)

Conduza uma discussão em classe para formalizar o conhecimento adquirido. Explique como o princípio multiplicativo permite calcular o número total de combinações de forma eficiente e introduza a notação de permutação e combinação, se apropriado para o nível da turma.

Exemplo de formalização: Se tivermos $n$ opções de bolo, $m$ opções de bebida e $p$ opções de decoração, o total de combinações possíveis é dado por $n\times m\times p$. Neste caso, $3\times 2\times 4=24$.

6.5 Socialização (10 min)

Permita que cada grupo apresente suas descobertas e estratégias para a turma. Incentive a troca de ideias e a comparação de diferentes métodos para resolver o problema. Conclua a atividade destacando a importância da análise combinatória em situações do dia a dia.

7. Recursos

• Papel e lápis
• Quadro branco ou flip chart
• Marcadores coloridos
• Calculadora (opcional)

8. Avaliação

A avaliação pode ser feita por meio de observação direta durante as atividades em grupo, considerando:

• Participação ativa e colaboração no grupo.
• Clareza e organização na apresentação das ideias.
• Correção e criatividade na elaboração dos diagramas ou tabelas.
• Capacidade de aplicar o princípio multiplicativo corretamente.

9. Diferenciações

Para alunos com TEA

• Ofereça exemplos visuais e concretos, como cartões ou imagens de bolos, bebidas e decorações, para facilitar a compreensão.
• Permita que trabalhem em pares ou grupos pequenos, com apoio adicional se necessário.

Para alunos com TDAH

• Divida a tarefa em passos menores e claros, com intervalos regulares para feedback.
• Use recompensas positivas para incentivar a concentração e a participação.

10. Para casa

Peça aos alunos que pensem em uma situação real do dia a dia que envolva escolhas (por exemplo, escolher roupas para um evento, montar uma refeição) e descrevam como a análise combinatória pode ser aplicada nessas situações. Incentive-os a compartilhar suas ideias na próxima aula.